零溪考试网将带领大家一起认识初中奥数题库，希望可以帮到你。
- 1、尖子生题库和举一反三奥数这两本书哪个好一点？
- 2、360题库的内容组成
- 3、初一奥数题库（带答案）
- 4、初一奥数题库（带答案）
零溪考试网小编整理了以下关于 [] 一些相关资讯，欢迎阅读！
尖子生题库和举一反三奥数这两本书哪个好一点？
目的不同，方向不同
尖子生题库是针对教学大纲的，与教材内容相符。
举一反三是拓展思维训练的，奥数题有些独特的解题方法。和课本关系不大。如果孩子学习数学有余力，学一点奥数，有助于提高思维能力
360题库的内容组成
小学语文题库(小学一年级至小学六年级)
小学英语题库(小学一年级至小学六年级)
小学数学题库(小学一年级至小学六年级)
小学奥数题库(小学一年级至小学六年级) 中学语文题库(初中一年级至初中三年级)
中学数学题库(初中一年级至初中三年级)
中学英语题库(初中一年级至初中三年级)
中学政治题库(初中一年级至初中三年级)
中学历史题库(初中一年级至初中三年级)
中学化学题库(初中一年级至初中三年级)
中学物理题库(初中一年级至初中三年级)
中学生物题库(初中一年级至初中三年级) 高中语文题库(高中一年级至高中三年级)
高中数学题库(高中一年级至高中三年级)
高中英语题库(高中一年级至高中三年级)
高中政治题库(高中一年级至高中三年级)
高中历史题库(高中一年级至高中三年级)
高中化学题库(高中一年级至高中三年级)
高中物理题库(高中一年级至高中三年级)
高中生物题库(高中一年级至高中三年级) 中考语文
中考数学
中考英语
中考化学
中考政治
中考历史
中考生物
中考地理 高考语文
高考数学
高考英语
高考化学
高考物理
高考政治
高考历史
高考生物
高考地理
初一奥数题库（带答案）
初一奥赛自测题
自测题一
甲多开支100元，三年后负
债600元．求每人每年收入多少？
S的末四位数字的和是多少？
4．一个人以3千米/小时的上坡，以6千米/小时的下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．
5．求和
6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．
8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除．
9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．
自测题二
1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．
2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？
3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求证：
DA⊥AB．
4．已知方程组
的解应为
一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为
求a2＋b2＋c2的值．
5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．
6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(已知一年期定期储蓄年利率为5.22％)
7．对k，m的哪些值，方程组
至少有一组解？
8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．
9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？
自测题三
1．解关于x的方程
2．解方程
其中a＋b＋c≠0．
3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和．
4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．
5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．
6．设P是△ABC内一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围．
7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离．
8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？
9．设有n个实数x1，x2，…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且
求证：n是4的倍数．
自测题四
1．已知a，b，c，d都是正数，并且
a＋d＜a，c＋d＜b．
求证：ac＋bd＜ab．
2．已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5倍．因市场变化，乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍．调价后，甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了2％，求乙种商品提价的百分数．
3．在锐角三角形ABC中，三个内角都是质数．求三角形的三个内角．
4．某工厂三年计划中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分数就相同，而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半，求原计划每年各生产多少台？
z=｜x+y｜+｜y+1｜+｜x-2y+4｜，
求z的最大值与最小值．
8．从1到500的自然数中，有多少个数出现1或5？
9．从19，20，21，…，98这80个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶数的选法有多少种？
自测题五
1．一项任务，若每天超额2件，可提前计划3天完工，若每天超额4件，可提前5天完工，试求工作的件数和原计划完工所用的时间．
2．已知两列数
2，5，8，11，14，17，…，2＋(200-1)×3，
5，9，13，17，21，25，…，5＋(200-1)×4，
它们都有200项，问这两列数中相同的项数有多少项？
3．求x3-3px＋2q能被x2＋2ax＋a2整除的条件．
4．证明不等式
5．若两个三角形有一个角对应相等．求证：这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比．
6．已知(x-1)2除多项式x4＋ax3-3x2＋bx＋3所得的余式是x+1，试求a，b的值．
7．今有长度分别为1，2，3，…，9的线段各一条，可用多少种不同方法，从中选用若干条，使它们能围成一个正方形？
8．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的．问：这10条直线最多能把平面分成多少部分？
9．边长为整数，周长为15的三角形有多少个？
自测题一
所以 x=5000(元)．
所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．
3．因为
时，a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则
有
由②有 2x+y=20， ③
由①有y=12-x．将之代入③得
2x+12-x=20．
所以 x=8(千米)，于是y=4(千米)．
5．第n项为
所以
6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．
7．设
由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即
(4-m)pq+1=2(p+q)．
可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．
(1)若m=1时，有
解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．
(2)若m=2时，有
因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．
(3)若m=3时，有
解之得
故 p＋q=8．
8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．
9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以
上述两式相加
另一方面，
S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．
因此只需证明
S△AND＝S△CNP＋S△DNP．
由于M，N分别为AC，BD的中点，所以
S△CNP=S△CPM-S△CMN
=S△APM-S△AMN
=S△ANP．
又S△DNP=S△BNP，所以
S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．
自测题二
1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000
=2x×1＋3×1-2x+2000
=2003．
2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4＋x)元，但每天卖出为(100-10x)件．如果设每天获利为y元，则
y ＝(4＋x)(100-10x)
=400＋100x-40x-10x2
=-10(x2-6x＋9)＋90＋400
=-10(x-3)2＋490．
所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元．
3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°(图1－104)，所以
所以 AD‖BC．
又因为 AB⊥BC，
由①，②
AB⊥AD．
4．依题意有
所以 a2+b2+c2=34．
5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即
｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，
所以
(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．
因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以
所以有
6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则
因为 y=35000-x，
所以
x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2
+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，
所以
1.3433x＋48755-1.393x=47761，
所以 0.0497x=994，
所以 x=20000(元)，
y=35000-20000=15000(元)．
7．因为
(k－1)x＝m-4， ①
m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解．
当k=1，m≠4时，①无解．
所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解．
8．由题设方程得
z＝3m-y．
x=19-y-4(3m-y)-m
=19+3y-13m．
原方程的通解为
其中n，m取任意整数值．
9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则
消去y，得12x-5z=180．它的解是
x=90-5t，z=180-12t．
代入原方程，得y=-230＋17t．故
x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．
x=20，y=8，z=12．
因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．
自测题三
1．化简得
6(a-1)x=3-6b+4ab，
当a≠1时，
2．将原方程变形为
由此可解得
x=a＋b+c．
3．当x=1时，
(8-6+4-7)3(2-1)2=1．
即所求展开式中各项系数之和为1．
依题意得
去分母、化简得
7x2-300x+800=0，
即 (7x-20)(x-40)=0，
5．若n为整数，有[n＋x]=n＋[x]，所以
[-1.77x]=[-2x＋0.23x]
=-2x+[0.23x]．
由已知[-1.77x]=-2x，所以
-2x=-2x+[0.23x]，
所以 [0.23x]=0．
又因为x为自然数，所以0≤0.23x＜1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个．
6．如图1－105所示．在△PBC中有
BC＜PB＋PC， ①
延长BP交AC于D．易证
PB＋PC＜AB＋AC． ②
由①，②
BC＜PB＋PC＜AB+AC， ③
同理
AC＜PA＋PC＜AC＋BC， ④
AB＜PA＋PB＜AC＋AB． ⑤
③＋④＋⑤得
AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)．
所以
7．设甲步行为x千米/小时，乙步行为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千米．依题意得
由①得
16y2=9x2， ③
由②得16y=24＋9x，将之代入③得
即 (24＋9x)2=(12x)2．
解之得
于是
所以两站距离为
9×8＋16×6=168(千米)．
8．答案是否定的．对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数．
。
又因为
所以，k是偶数，从而n是4的倍数．
自测题四
1．由对称性，不妨设b≤a，则
ac＋bd≤ac＋ad=a(c＋d)＜ab．
2．设乙种商品原单价为x元，则甲种商品的原单价为1.5x元．设甲商品降价y％，则乙商品提价2y％．依题意有
1.5x(1-y％)+x(1＋2y％)=(1.5x＋x)(1＋2％)，
化简得
1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02．
所以y=0.1=10％，
所以甲种商品降价10％，乙种商品提价20％．
3．因为∠A+∠B＋∠C=180°，所以∠A，∠B，∠C中必有偶数．唯一的偶质数为2，所以
∠C=2°．
所以
∠A+∠B=178°．
由于需∠A，∠B为奇质数，这样的解不唯一，如
4．设每年增产d千台，则这三年的每一年计划的千台数分别为a-d，a，a＋d．依题意有
解之得
所以三年产量分别是4千台、6千台、8千台．
不等式组：
所以 x＞2；
无解．
6．设原式为S，则
所以
又
＜0.112-0.001=0.111．
因为
所以
=0.105
即为所求．
7．由｜x｜≤1，｜y｜≤1得
-1≤x≤1，-1≤y≤1．
所以
y＋1≥0，
x-2y+4≥-1-2×1+4=1＞0．
所以
z=｜x+y｜+(y+1)+(x-2y+4)
=｜x+y｜＋x-y＋5．
(1)当x+y+≤0时，
z=-(x+y)＋x-y+5=5-2y．
由-1≤y≤1可推得3≤5-2y≤7，所以这时，z的最小值为3、最大值为7．
(2)当x+y＞0时，
z=(x＋y)+(x-y+5)=2x+5．
由-1≤x≤1及可推得3≤2x+5≤7，所以这时z的最小值为3、最大值为7．
由(1)，(2)知，z的最小值为3，最大值为7．
8．百位上数字只是1的数有100，101，…，199共100个数；十位上数字是1或5的(其百位上不为1)有
2×3×10=60(个)．
个位上出现1或5的(其百位和十位上都不是1或5)有
2×3×8=48(个)．
再加上500这个数，所以，满足题意的数共有
100+60+48+1=209(个)．
9．从19到98共计80个不同的整数，其中有40个奇数，40个偶数．第一个数可以任选，有80种选法．第一个数如果是偶数，第二个数只能在其他的39个偶数中选取，有39种选法．同理，第一个数如果是奇数，第二个数也有39种选法，但第一个数为a，第二个为b与第一个为b，第二个为a是同一种选法，所以总的选法应该折半，即共有
种选法．
自测题五
1．设每天计划完成x件，计划完工用的时间为y天，则总件数为xy件．依题意得
解之得
总件数
xy=8×15=120(件)，
即计划用15天完工，工作的件数为120件．
2．第一列数中第n项表示为2＋(n-1)×3，第二列数中第m项表示为5＋(m-1)×4．要使
2＋(n-1)×3＝5+(m-1)×4．
所以
因为1≤n≤200，所以
所以 m=1，4，7，10，…，148共50项．
3．
x3-3px+2q被x2＋2ax＋a2除的余式为
3(a2-p)x＋2(q＋a3)，
所以所求的条件应为
4．令
因为
所以
5．如图1-106(a)，(b)所示．△ABC与△FDE中，
∠A=∠D．现将△DEF移至△ABC中，使∠A与∠D重合，DE=AE’，DF=AF’，连结F’B．此时，△AE’F’的面积等于三角形DEF的面积．
①×②得
6．不妨设商式为x2+α•x＋β．由已知有
x4＋ax3-3x2＋bx＋3
=(x-1)2(x2+α•x＋β)+(x＋1)
=(x2-2x＋1)(x2＋α• x＋β)＋x＋1
=x4+(α-2)x3+(1-2α＋β)x2
＋(1＋α-2β)x＋β+1．
比较等号两端同次项的系数，应该有
只须解出
所以a=1，b=0即为所求．
7．因为
所以正方形的边长≤11．
下面按正方形边的长度分类枚举：
(1)边长为11：
9＋2=8+3=7＋4=6+5，
可得1种选法．
(2)边长为10：
9＋1=8＋2=7＋3=6+4，
可得1种选法．
(3)边长为9：
9=8+1=7+2=6+3=5+4，
可得5种选法．
(4)边长为8：
8=7+1=6+2=5+3，
可得1种选法．
(5)边长为7：
7=6+1=5＋2=4＋3，
可得1种选法．
(6)边长≤6时，无法选择．
综上所述，共有
1+1+5+1+1=9
种选法组成正方形．
8．先看6条不平行的直线，它们最多将平面分成
2+2＋3+4+5＋6=22个部分．
现在加入平行线．加入第1条平行线，它与前面的6条直线最多有6个交点，它被分成7段，每一段将原来的部分一分为二，故增加了7个部分．加入第2，第3和第4条平行线也是如此，即每加入一条平行线，最多增加7个部分．因此，这些直最多将平面分成
22+7×4=50
个部分．
9．不妨设三角形的三边长a，b，c满足a≥b≥c．由b＋c＞a，a＋b＋c=15，a≥b≥c可得，15=a＋(b＋c)＞2a，所以a≤7．又15=a+b＋c≤3a，故a≥5．于是a=5，6，7．当a=5时，b＋c=10，故b=c=5；当a=b时，b＋c=9．于是b=6，c=3，或b=5，c=4；当a=7时，b+c=8，于是b=7，c=1，或b=6，c=2，或b=5，c=3，或b=4，c=4．
所以，满足题意的三角形共有7个．
初一奥数题库（带答案）
初一奥赛自测题
自测题一
甲多开支100元，三年后负
债600元．求每人每年收入多少？
S的末四位数字的和是多少？
4．一个人以3千米/小时的上坡，以6千米/小时的下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程．
5．求和
6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．
8．若两个整数x，y使x2+xy+y2能被9整除，证明：x和y能被3整除．
9．如图1－95所示．在四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点为M，N，MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．
自测题二
1．已知3x2-x=1，求6x3+7x2-5x＋2000的值．
2．某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？
3．如图1－96所示．已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠1＋∠2=90°．求证：
DA⊥AB．
4．已知方程组
的解应为
一个学生解题时把c抄错了，因此得到的解为
求a2＋b2＋c2的值．
5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．
6．王平买了年利率7.11％的三年期和年利率为7.86％的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(已知一年期定期储蓄年利率为5.22％)
7．对k，m的哪些值，方程组
至少有一组解？
8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．
9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？
自测题三
1．解关于x的方程
2．解方程
其中a＋b＋c≠0．
3．求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和．
4．液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72％，求桶的容量．
5．满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个？这里[x]表示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3．
6．设P是△ABC内一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围．
7．甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离．
8．黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？
9．设有n个实数x1，x2，…，xn，其中每一个不是+1就是-1，且
求证：n是4的倍数．
自测题四
1．已知a，b，c，d都是正数，并且
a＋d＜a，c＋d＜b．
求证：ac＋bd＜ab．
2．已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5倍．因市场变化，乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍．调价后，甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了2％，求乙种商品提价的百分数．
3．在锐角三角形ABC中，三个内角都是质数．求三角形的三个内角．
4．某工厂三年计划中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分数就相同，而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半，求原计划每年各生产多少台？
z=｜x+y｜+｜y+1｜+｜x-2y+4｜，
求z的最大值与最小值．
8．从1到500的自然数中，有多少个数出现1或5？
9．从19，20，21，…，98这80个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶数的选法有多少种？
自测题五
1．一项任务，若每天超额2件，可提前计划3天完工，若每天超额4件，可提前5天完工，试求工作的件数和原计划完工所用的时间．
2．已知两列数
2，5，8，11，14，17，…，2＋(200-1)×3，
5，9，13，17，21，25，…，5＋(200-1)×4，
它们都有200项，问这两列数中相同的项数有多少项？
3．求x3-3px＋2q能被x2＋2ax＋a2整除的条件．
4．证明不等式
5．若两个三角形有一个角对应相等．求证：这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比．
6．已知(x-1)2除多项式x4＋ax3-3x2＋bx＋3所得的余式是x+1，试求a，b的值．
7．今有长度分别为1，2，3，…，9的线段各一条，可用多少种不同方法，从中选用若干条，使它们能围成一个正方形？
8．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的．问：这10条直线最多能把平面分成多少部分？
9．边长为整数，周长为15的三角形有多少个？
自测题一
所以 x=5000(元)．
所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．
3．因为
时，a-b≥0，即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时，等式成立．4．设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米．依题意则
有
由②有 2x+y=20， ③
由①有y=12-x．将之代入③得
2x+12-x=20．
所以 x=8(千米)，于是y=4(千米)．
5．第n项为
所以
6．设p=30q＋r，0≤r＜30．因为p为质数，故r≠0，即0＜r＜30．假设r为合数，由于r＜30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5．再由p=30q＋r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾．所以，r一定不是合数．
7．设
由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即
(4-m)pq+1=2(p+q)．
可知m＜4．由①，m＞0，且为整数，所以m=1，2，3．下面分别研究p，q．
(1)若m=1时，有
解得p=1，q=1，与已知不符，舍去．
(2)若m=2时，有
因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解．
(3)若m=3时，有
解之得
故 p＋q=8．
8．因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy．由题设，9｜(x2+xy＋y2)，所以3｜(x2＋xy＋y2)，从而3｜(x-y)2．因为3是质数，故3｜(x-y)．进而9｜(x-y)2．由上式又可知，9｜3xy，故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x，结合3(x-y)，便得3｜y；若3｜y，同理可得，3｜x．
9．连结AN，CN，如图1－103所示．因为N是BD的中点，所以
上述两式相加
另一方面，
S△PCD=S△CND＋S△CNP＋S△DNP．
因此只需证明
S△AND＝S△CNP＋S△DNP．
由于M，N分别为AC，BD的中点，所以
S△CNP=S△CPM-S△CMN
=S△APM-S△AMN
=S△ANP．
又S△DNP=S△BNP，所以
S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．
自测题二
1．原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000
=2x×1＋3×1-2x+2000
=2003．
2．原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4＋x)元，但每天卖出为(100-10x)件．如果设每天获利为y元，则
y ＝(4＋x)(100-10x)
=400＋100x-40x-10x2
=-10(x2-6x＋9)＋90＋400
=-10(x-3)2＋490．
所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元．
3．因为CE平分∠BCD，DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°(图1－104)，所以
∠ADC＋∠BCD=180°，
所以 AD‖BC．
又因为 AB⊥BC，
由①，②
AB⊥AD．
4．依题意有
所以 a2+b2+c2=34．
5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4，即
｜x｜(｜y｜-2)+(｜y｜-2)=2，
所以
(｜x｜+1)(｜y｜-2)=2．
因为｜x｜＋1＞0，且x，y都是整数，所以
所以有
6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则
因为 y=35000-x，
所以
x(1＋0.0711×3)(1＋0.0522)2
+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761，
所以
1.3433x＋48755-1.393x=47761，
所以 0.0497x=994，
所以 x=20000(元)，
y=35000-20000=15000(元)．
7．因为
(k－1)x＝m-4， ①
m为一切实数时，方程组有唯一解．当k=1，m=4时，①的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解．
当k=1，m≠4时，①无解．
所以，k≠1，m为任何实数，或k=1，m=4时，方程组至少有一组解．
8．由题设方程得
z＝3m-y．
x=19-y-4(3m-y)-m
=19+3y-13m．
原方程的通解为
其中n，m取任意整数值．
9．设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z个，则
消去y，得12x-5z=180．它的解是
x=90-5t，z=180-12t．
代入原方程，得y=-230＋17t．故
x=90-5t，y=-230+17t，z=180-12t．
x=20，y=8，z=12．
因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．
自测题三
1．化简得
6(a-1)x=3-6b+4ab，
当a≠1时，
2．将原方程变形为
由此可解得
x=a＋b+c．
3．当x=1时，
(8-6+4-7)3(2-1)2=1．
即所求展开式中各项系数之和为1．
依题意得
去分母、化简得
7x2-300x+800=0，
即 (7x-20)(x-40)=0，
5．若n为整数，有[n＋x]=n＋[x]，所以
[-1.77x]=[-2x＋0.23x]
=-2x+[0.23x]．
由已知[-1.77x]=-2x，所以
-2x=-2x+[0.23x]，
所以 [0.23x]=0．
又因为x为自然数，所以0≤0.23x＜1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个．
6．如图1－105所示．在△PBC中有
BC＜PB＋PC， ①
延长BP交AC于D．易证
PB＋PC＜AB＋AC． ②
由①，②
BC＜PB＋PC＜AB+AC， ③
同理
AC＜PA＋PC＜AC＋BC， ④
AB＜PA＋PB＜AC＋AB． ⑤
③＋④＋⑤得
AB＋BC＋CA＜2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋CA)．
所以
7．设甲步行为x千米/小时，乙步行为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千米．依题意得
由①得
16y2=9x2， ③
由②得16y=24＋9x，将之代入③得
即 (24＋9x)2=(12x)2．
解之得
于是
所以两站距离为
9×8＋16×6=168(千米)．
8．答案是否定的．对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数．以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数．
。
又因为
所以，k是偶数，从而n是4的倍数．
自测题四
1．由对称性，不妨设b≤a，则
ac＋bd≤ac＋ad=a(c＋d)＜ab．
2．设乙种商品原单价为x元，则甲种商品的原单价为1.5x元．设甲商品降价y％，则乙商品提价2y％．依题意有
1.5x(1-y％)+x(1＋2y％)=(1.5x＋x)(1＋2％)，
化简得
1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02．
所以y=0.1=10％，
所以甲种商品降价10％，乙种商品提价20％．
3．因为∠A+∠B＋∠C=180°，所以∠A，∠B，∠C中必有偶数．唯一的偶质数为2，所以
∠C=2°．
所以
∠A+∠B=178°．
由于需∠A，∠B为奇质数，这样的解不唯一，如
4．设每年增产d千台，则这三年的每一年计划的千台数分别为a-d，a，a＋d．依题意有
解之得
所以三年产量分别是4千台、6千台、8千台．
不等式组：
所以 x＞2；
无解．
6．设原式为S，则
所以
又
＜0.112-0.001=0.111．
因为
所以
=0.105
即为所求．
7．由｜x｜≤1，｜y｜≤1得
-1≤x≤1，-1≤y≤1．
所以
y＋1≥0，
x-2y+4≥-1-2×1+4=1＞0．
所以
z=｜x+y｜+(y+1)+(x-2y+4)
=｜x+y｜＋x-y＋5．
(1)当x+y+≤0时，
z=-(x+y)＋x-y+5=5-2y．
由-1≤y≤1可推得3≤5-2y≤7，所以这时，z的最小值为3、最大值为7．
(2)当x+y＞0时，
z=(x＋y)+(x-y+5)=2x+5．
由-1≤x≤1及可推得3≤2x+5≤7，所以这时z的最小值为3、最大值为7．
由(1)，(2)知，z的最小值为3，最大值为7．
8．百位上数字只是1的数有100，101，…，199共100个数；十位上数字是1或5的(其百位上不为1)有
2×3×10=60(个)．
个位上出现1或5的(其百位和十位上都不是1或5)有
2×3×8=48(个)．
再加上500这个数，所以，满足题意的数共有
100+60+48+1=209(个)．
9．从19到98共计80个不同的整数，其中有40个奇数，40个偶数．第一个数可以任选，有80种选法．第一个数如果是偶数，第二个数只能在其他的39个偶数中选取，有39种选法．同理，第一个数如果是奇数，第二个数也有39种选法，但第一个数为a，第二个为b与第一个为b，第二个为a是同一种选法，所以总的选法应该折半，即共有
种选法．
自测题五
1．设每天计划完成x件，计划完工用的时间为y天，则总件数为xy件．依题意得
解之得
总件数
xy=8×15=120(件)，
即计划用15天完工，工作的件数为120件．
2．第一列数中第n项表示为2＋(n-1)×3，第二列数中第m项表示为5＋(m-1)×4．要使
2＋(n-1)×3＝5+(m-1)×4．
所以
因为1≤n≤200，所以
所以 m=1，4，7，10，…，148共50项．
3．
x3-3px+2q被x2＋2ax＋a2除的余式为
3(a2-p)x＋2(q＋a3)，
所以所求的条件应为
4．令
因为
所以
5．如图1-106(a)，(b)所示．△ABC与△FDE中，
∠A=∠D．现将△DEF移至△ABC中，使∠A与∠D重合，DE=AE’，DF=AF’，连结F’B．此时，△AE’F’的面积等于三角形DEF的面积．
①×②得
6．不妨设商式为x2+α•x＋β．由已知有
x4＋ax3-3x2＋bx＋3
=(x-1)2(x2+α•x＋β)+(x＋1)
=(x2-2x＋1)(x2＋α• x＋β)＋x＋1
=x4+(α-2)x3+(1-2α＋β)x2
＋(1＋α-2β)x＋β+1．
比较等号两端同次项的系数，应该有
只须解出
所以a=1，b=0即为所求．
7．因为
所以正方形的边长≤11．
下面按正方形边的长度分类枚举：
(1)边长为11：
9＋2=8+3=7＋4=6+5，
可得1种选法．
(2)边长为10：
9＋1=8＋2=7＋3=6+4，
可得1种选法．
(3)边长为9：
9=8+1=7+2=6+3=5+4，
可得5种选法．
(4)边长为8：
8=7+1=6+2=5+3，
可得1种选法．
(5)边长为7：
7=6+1=5＋2=4＋3，
可得1种选法．
(6)边长≤6时，无法选择．
综上所述，共有
1+1+5+1+1=9
种选法组成正方形．
8．先看6条不平行的直线，它们最多将平面分成
2+2＋3+4+5＋6=22个部分．
现在加入平行线．加入第1条平行线，它与前面的6条直线最多有6个交点，它被分成7段，每一段将原来的部分一分为二，故增加了7个部分．加入第2，第3和第4条平行线也是如此，即每加入一条平行线，最多增加7个部分．因此，这些直最多将平面分成
22+7×4=50
个部分．
9．不妨设三角形的三边长a，b，c满足a≥b≥c．由b＋c＞a，a＋b＋c=15，a≥b≥c可得，15=a＋(b＋c)＞2a，所以a≤7．又15=a+b＋c≤3a，故a≥5．于是a=5，6，7．当a=5时，b＋c=10，故b=c=5；当a=b时，b＋c=9．于是b=6，c=3，或b=5，c=4；当a=7时，b+c=8，于是b=7，c=1，或b=6，c=2，或b=5，c=3，或b=4，c=4．
所以，满足题意的三角形共有7个．
